코사인 방정식

$\displaystyle \left| \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{6} \right| = \frac{5}{6}$에서 $\displaystyle \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ 또는 $\displaystyle \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{6} = - \frac{5}{6}$ $\therefore$ $\displaystyle \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{2}{3}$ 또는 $\displaystyle \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = - 1$ $\displaystyle x + \frac{\pi}{3} = t$로 놓으면 $\displaystyle \cos t = \frac{2}{3}$ 또는 $\cos t = - 1$

$0 \leq x < 2 \pi$일 때 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \leq t < \frac{7}{3} \pi$이므로 (ⅰ) $\cos t = - 1$일 때 $t = \pi$이므로 $\displaystyle x + \frac{\pi}{3} = \pi$ $\therefore$ $\displaystyle x = \frac{2}{3} \pi$ (ⅱ) $\displaystyle \cos t = \frac{2}{3}$일 때 방정식 $\displaystyle \cos t = \frac{2}{3}$의 두 근을 $t _{1}$, $t _{2}$라 하면 두 근은 직선 $t = 2 \pi$에 대하여 대칭이므로 $t _{1} + t _{2} = 4 \pi$ $\displaystyle t _{1} = x _{1} + \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle t _{2} = x _{2} + \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \left( x _{1} + \frac{\pi}{3} \right) + \left( x _{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 4 \pi$ $\therefore$ $\displaystyle x _{1} + x _{2} = \frac{10}{3} \pi$ (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi + \frac{10}{3} \pi = 4 \pi$