대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

꺾은선 길이 합과 점

문제

그림과 같이 원점 $\mathrm{O}$ 에서 시작하여 $\mathrm{A} _{1} ( 1 , 1 )$ , $\mathrm{A} _{2} ( 0 , 2 )$ , $\mathrm{A} _{3} ( - 2 , 0 )$ , $\mathrm{A} _{4} ( 0 , - 2 )$ , $\mathrm{A} _{5} ( 3 , 1 ) ,$ $\cdots ,$ $\mathrm{A} _{\mathit{k}} {\mathit{(} 0 , m )}$ 의 순서대로 각 점을 연결하는 선분을 긋는다. 그어진 모든 선분의 길이의 합이 $\displaystyle 380 \sqrt{2}$ 일 때, $m$ 의 값은? [4점]

① $- 20$ ② $- 18$ ③ $16$ ④ $18$ ⑤ $20$

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⑤

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해설

[출제의도] 등차수열의 합에 대한 추론능력을 묻는 문제이다. 선분들의 길이는 $\displaystyle \sqrt{2} , \sqrt{2} , 2 \sqrt{2} , 2 \sqrt{2} , \cdots , \frac{k}{2} \sqrt{2} , \frac{k}{2} \sqrt{2}$ ( $k$ 는 짝수) 이므로 모든 선분의 길이의 합은 $\displaystyle 2 \sqrt{2} \left( 1 + 2 + \cdots + \frac{k}{2} \right) = 2 \sqrt{2} \times \frac{\frac{k}{2} \left( 1 + \frac{k}{2} \right)}{2}$ $\displaystyle = 380 \sqrt{2}$ $k ( k + 2 ) = 1520$ $\therefore k = 38$ 38은 4의 배수가 아닌 짝수이므로 $\mathrm{A} _{38}$ 은 $y$ 축의 양의 부분에 놓여 있으며 $\mathrm{A} _{\mathit{4} n - 2} \mathit{(} 0 , 2 n )$ ( $n$ 은 자연수)꼴이다. 따라서 점 $\mathrm{A} _{38}$ 의 좌표는 $( 0 , 20 )$ $\therefore m = 20$

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