깔때기 부피의 도함수

(ⅰ) $0 \leq h \leq r$일 때의 부피를 $V _{1}$이라 하면 그림에서 $x = r$이므로 $\displaystyle V _{1} = \pi \int _{0} ^{h} {} x ^{2} dy = \pi \int _{0} ^{h} {} r ^{2} dy = \pi r ^{2} h$ (ⅱ) $r < h \leq 2 r$일 때의 부피를 $V _{2}$라 하면 그림에서 $y = x$이므로 $V _{2}$$\displaystyle = \pi r ^{3} + \pi \int _{r} ^{h} {} x ^{2} dy$ $\displaystyle = \pi r ^{3} + \pi \int _{r} ^{h} {} y ^{2} dy$ $\displaystyle = \pi r ^{3} + \pi \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} y ^{3} \end{array} \right] _{r} ^{h}$ $\displaystyle = \pi r ^{3} + \frac{1}{3} \pi h ^{3} - \frac{1}{3} \pi r ^{3}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \pi h ^{3} + \frac{2}{3} \pi r ^{3}$ 따라서 $0 \leq h \leq r$일 때 $\displaystyle \frac{dV _{1}}{dh} = \pi r ^{2}$, $r < h \leq 2 r$일 때 $\displaystyle \frac{dV _{2}}{dh} = \pi h ^{2}$이므로 도함수 $\displaystyle \frac{dV}{dh}$의 그래프의 개형은 ③과 같다.