큰 쪽 함수와 네 교점

직선 $y = k$가 곡선 $y = f \left( x \right)$, 직선 $y = g \left( x \right)$와 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 각각 $\mathrm{3}$, $\mathrm{1}$이므로 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 네 점에서 만나는 경우는 직선 $y = k$와 곡선 $y = f \left( x \right)$는 서로 다른 세 점에서 만나고 직선 $y = k$와 직선 $y = g \left( x \right)$는 한 점에서 만나며 이 네 점이 모두 서로 다른 경우이다. 함수 $\displaystyle h \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( x \right) & & \left( f \left( x \right) \geq g \left( x \right) \right) \\ g \left( x \right) & & \left( f \left( x \right) < g \left( x \right) \right) \end{cases}}$이므로 직선 $y = k$와 직선 $y = g \left( x \right)$가 만나는 점의 $x$좌표를 $x _{1}$이라 하면 $f \left( x _{1} \right) < g \left( x _{1} \right)$ 직선 $y = k$와 곡선 $y = f \left( x \right)$가 만나는 서로 다른 세 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x _{2}$, $x _{3}$, $x _{4}$라 하면 $f \left( x _{2} \right) > g \left( x _{2} \right)$, $f \left( x _{3} \right) > g \left( x _{3} \right)$, $f \left( x _{4} \right) > g \left( x _{4} \right)$ 이를 만족시키는 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

직선 $y = g \left( x \right)$가 점 $\left( 2 , 2 \right)$를 지나고 $x _{1} < x _{2}$, $f \left( x _{1} \right) < g \left( x _{1} \right) = k$인 실수 $x _{1}$이 존재하므로 직선 $y = g \left( x \right)$의 기울기는 음수이다. $y = g \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) + 2$에서 $a < 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 = 3 \left( x - 2 \right) \left( x + 2 \right)$ 함수 $f \left( x \right)$는 $x = - 2$에서 극댓값을 갖고 $x = - 2$에서 함수 $f \left( x \right)$의 함숫값은 함수 $g \left( x \right)$의 함숫값보다 크다. $f \left( - 2 \right) > g \left( - 2 \right)$ $16 > - 4 a + 2$ $\displaystyle a > - \frac{7}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle - \frac{7}{2} < a < 0$ $\displaystyle m = - \frac{7}{2}$, $M = 0$ 따라서 $\displaystyle 10 \times \left( M - m \right) = 10 \times \left\{ 0 - \left( - \frac{7}{2} \right) \right\} = 35$