대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

커피잔 부피 비

문제

직원뿔대 모양의 커피잔 AA와 직원기둥 모양의 커피잔 BB가 있다. 커피잔 AA의 윗면의 반지름의 길이를 aa, 아랫면의 반지름의 길이를 bb, 커피잔 BB의 반지름의 길이를 cc라 할 때, a,c,ba , c , b 순으로 등차수열을 이루고 a:b=3:1a : b = 3 : 1이며 각각의 높이는 윗면과 아랫면의 반지름의 길이의 합과 같다. A,BA , B 두 커피잔에 커피를 높이의 12\displaystyle \frac{1}{2}까지 부었을 때, 커피의 양을 각각 VAV _{A}, VBV _{B}라 하자. VAVB\displaystyle \frac{V _{A}}{V _{B}}의 값을 qp\displaystyle \frac{q}{p}(p,qp , q는 서로소)라 할 때, p+qp + q의 값을 구하시오. [4점]

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19

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해설

반지름의 길이가 a,c,ba , c , b순으로 등차수열을 이루고, a:b=3:1a : b = 3 : 1이므로 a=3k,b=k,c=2ka = 3 k , b = k , c = 2 k 높이는 4k4 k 높이가 2k2 k일 때의 커피잔 AA의 부피는 VA=V _{A} =13×π(2k)2×4k−13×πk2×2k=143πk3\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \left( {2} k \right) ^{2} \times 4 k - \frac{1}{3} \times \pi k ^{2} \times 2 k = \frac{14}{3} \pi k ^{3} 커피잔 BB의 부피는 VBV _{B}=π×(2k)2×2k=8πk3= \pi \times \left( 2 k \right) ^{2} \times 2 k = 8 \pi k ^{3} 따라서 VAVB=712=qp\displaystyle \frac{V _{A}}{V _{B}} = \frac{7}{12} = \frac{q}{p} ∴ p+q=19p + q = 19

태그

#등차수열#부피

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