공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

케일리-헤밀턴 정리를 이용한 행렬 집합의 성질

문제

A=(1224)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}이고 2×22 \times 2행렬 M\mathrm{M}의 부분집합 VV를 V={X∣AX=A}V = \left\{ X | AX = A \right\}라 할 때 <보기>에서 항상 옳은 것은?

< 보 기 >
가. 15A∈V\displaystyle \frac{1}{5} A \in V 나. X∈VX \in V이면 XX 의 역행렬이 존재한다. 다. X∈VX \in V이고 Y∈VY \in V이면 XY∈VXY \in V 이다.

①가②나③가, 다④나, 다⑤가, 나, 다

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③

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해설

케일리-헤밀턴 정리에 의해 A2−5A=OA ^{2} - 5 A = O 가. A⋅15A=A\displaystyle A \cdot \frac{1}{5} A = A이므로 15A∈V\displaystyle \frac{1}{5} A \in V (참) 나. [가]에 의해 15A∈V\displaystyle \frac{1}{5} A \in V, 행렬 AA의 판별식 D=ad−bc=0D = ad - bc = 0 따라서, 15A\displaystyle \frac{1}{5} A의 역행렬은 존재하지 않는다. (거짓) 다. AX=AAX = A이고 AY=AAY = A이면 AXY=AY=AAXY = AY = A (참)

태그

#케일리-헤밀턴 정리#역행렬#판별식

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