공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

케일리-해밀턴 증명

문제

다음은 행렬 A=(abcd)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}에 대하여 등식 A2−(a+d)A+(ad−bc)E=OA ^{2} - ( a + d ) A + ( ad - bc ) E = O가 성립함을 증명한 것이다. (단, EE는 단위행렬, OO는 영행렬이다.)

< 증명 > 행렬 A^\hat{A}를 A^=(d−b−ca)\displaystyle \hat{A} = \begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \end{pmatrix}라 하면, A+A^=A + \hat{A} =(가) ⋯\cdots㉠ AA^=A \hat{A} =(나) ⋯\cdots㉡ ㉠의 양변에 AA를 곱하여 정리하면 A2+A ^{2} +(다) =O= O ⋯\cdots㉢ ㉡을 ㉢에 대입하면 A2−(a+d)A+(ad−bc)E=OA ^{2} - ( a + d ) A + ( ad - bc ) E = O이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①(a+d)A( a + d ) A (ad−bc)A( ad - bc ) A (a+d)E−AA^( a + d ) E - A \hat{A}②(a+d)A( a + d ) A (ad−bc)E( ad - bc ) E (a+d)A−(ad−bc)A^( a + d ) A - ( ad - bc ) \hat{A}③(a+d)E( a + d ) E (ad−bc)E( ad - bc ) E (a+d)A−(ad−bc)A^( a + d ) A - ( ad - bc ) \hat{A}④(a+d)E( a + d ) E (ad−bc)E( ad - bc ) E AA^−(a+d)AA \hat{A} - ( a + d ) A⑤(a+d)E( a + d ) E (ad−bc)A( ad - bc ) A AA^−(a+d)AA \hat{A} - ( a + d ) A

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④

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해설

[출제의도] 이차정사각행렬에서 성립하는 등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. 행렬 A^\hat{A}를 A^=(d−b−ca)\displaystyle \hat{A} = \begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \end{pmatrix} 라 하면 A+A^=A + \hat{A} =(a+d00a+d)\displaystyle \begin{pmatrix} a + d & 0 \\ 0 & a + d \end{pmatrix}==(a+d)E( a + d ) E ⋯\cdots㉠ AA^=A \hat{A} =(ad−bc00ad−bc)\displaystyle \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix}==(ad−bc)E( ad - bc ) E ⋯\cdots㉡ ㉠의 양변에 AA를 곱하여 정리하면 A(A+A^)=A ( A + \hat{A} ) =(a+d)A( a + d ) A A2+A ^{2} +AA^−(a+d)AA \hat{A} - ( a + d ) A =O= O 이 식에 ㉡을 대입하면 A2−(a+d)A+(ad−bc)E=OA ^{2} - ( a + d ) A + ( ad - bc ) E = O이다.

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