대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

케이크 부피 등비수열

문제

그림과 같이 각 단의 부피가 일정한 비율로 감소하는 88단 케이크를 만들었다. 이 케이크의 제 22단의 부피를 pp, 제 44단의 부피를 qq라 할 때, 제 88단의 부피를 pp와 qq로 나타낸 것은? [4점]

①q3p2\displaystyle \frac{q ^{3}}{p ^{2}}②q2p2\displaystyle \frac{q ^{2}}{p ^{2}}③p3q2\displaystyle \frac{p ^{3}}{q ^{2}}④p3q\displaystyle \frac{p ^{3}}{q}⑤p2q\displaystyle \frac{p ^{2}}{q}

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①

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해설

[출제의도] 등비수열의 일반항과 지수법칙을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 케이크의 제 11단의 부피를 aa라 하고 각 단의 부피가 rr배씩 감소한다고 하면 p=arp = ar, q=ar3q = ar ^{3}이므로 qp=r2\displaystyle \frac{q}{p} = r ^{2} ∴ r=qp\displaystyle r = \sqrt{\frac{q}{p}} 따라서 케이크의 제 88단의 부피는 ar7=ar3⋅r4=q(qp)4=q3p2\displaystyle ar ^{7} = ar ^{3} \cdot r ^{4} = q \left( \sqrt{\frac{q}{p}} \right) ^{4} = \frac{q ^{3}}{p ^{2}}

태그

#등비수열

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