확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

카드 앞뒤 숫자 기댓값

문제

앞면에 숫자 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ 가 하나씩 적혀 있는 $5$ 장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로 $3$ 장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 $1$ , $2$ , $3$ 을 차례로 적는다. 이 $3$ 장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫자가 적혀 있는 카드의 개수를 확률변수 $X$ 라 하자. 예를 들어, 꺼낸 카드의 앞면에 적혀 있는 숫자가 차례로 $4$ , $1$ , $3$ 인 경우는 $X = 2$ 이다. 다음은 확률변수 $X$ 의 평균 $\mathrm{E} ( \mathit{X} )$ 를 구하는 과정이다. (단, 상자에서 꺼내기 전 카드의 뒷면에는 숫자가 적혀 있지 않고, 꺼낸 카드는 상자에 다시 넣지 않는다.)


	상자에 들어 있는 $5$ 장의 카드 중에서 임의로 $3$ 장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 $1$ , $2$ , $3$ 을 차례로 적는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{P} _{3} = 60$ 이다. 확률변수 $X$ 가 가질 수 있는 값은 $0$ , $1$ , $2$ , $3$ 이므로 (ⅰ) $X = 0$ 인 사건은 $3$ 장의 카드 모두 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 0 \right) = \frac{1}{60}$ (ⅱ) $X = 1$ 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 $1$ 장이고, 나머지 $2$ 장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 1 \right) =$ (ⅲ) $X = 2$ 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 $2$ 장이고, 나머지 $1$ 장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 2 \right) =$ (ⅳ) $X = 3$ 인 사건의 경우에는 확률질량함수의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right) = 1 - \left( \frac{1}{60} + \right.$ $+$ $\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$ 이다. 따라서 $\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 0} ^{3} \left\{ k \times \mathrm{P} \left( \mathit{X} = k \right) \right\}$ $=$

(ⅲ) $X = 2$ 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 $2$ 장이고, 나머지 $1$ 장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 2 \right) =$ $( \text{나} )$

(ⅳ) $X = 3$ 인 사건의 경우에는 확률질량함수의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right) = 1 - \left( \frac{1}{60} + \right.$ $( \text{가} )$

$+$ $( \text{나} )$

$\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$ 이다. 따라서 $\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 0} ^{3} \left\{ k \times \mathrm{P} \left( \mathit{X} = k \right) \right\}$ $=$ $( \text{다} )$

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a$ , $b$ , $c$ 라 할 때, $10 a + 20 b + 5 c$ 의 값은? [4점] ① $20$ ② $24$ ③ $28$ ④ $32$ ⑤ $36$

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①

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해설

[출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정 추론하기 꺼낸 $3$ 장의 카드의 앞면에 적혀 있는 수를 차례로 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ 라 할 때, 이를 순서쌍 $\left( \alpha , \beta , \gamma \right)$ 와 같이 나타내자. $X = 0$ 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 모두 같은 경우이므로 $\left( 1 , 2 , 3 \right)$ 의 $1$ 가지 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} = 0 ) = \frac{1}{60}$ $X = 1$ 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 $2$ 인 경우이다. 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 $1$ 과 $2$ 로 같은 경우는 $\left( 1 , 2 , 4 \right) , \left( 1 , 2 , 5 \right)$ 의 $2$ 가지, 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 $1$ 과 $3$ 또는 $2$ 와 $3$ 으로 같은 경우도 각각 $2$ 가지이므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} = 1 ) = \frac{2 \times 3}{60} =$ $\displaystyle \frac{1}{10}$

$X = 2$ 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 $1$ 인 경우이다. 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 $1$ 로 같은 경우는 $\left( 1 , 3 , 2 \right) , \left( 1 , 3 , 4 \right) , \left( 1 , 3 , 5 \right) , \left( 1 , 4 , 2 \right) ,$ $\left( 1 , 4 , 5 \right) , \left( 1 , 5 , 2 \right) , \left( 1 , 5 , 4 \right)$ 의 $7$ 가지, 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 $2$ 또는 $3$ 으로 같은 경우도 각각 $7$ 가지이므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} = 2 ) = \frac{7 \times 3}{60} =$ $\displaystyle \frac{7}{20}$

$X = 3$ 인 사건의 경우에는 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right) = 1 - \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{10} + \frac{7}{20} \right) = \frac{8}{15}$ $\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)$ $\displaystyle = 0 \times \frac{1}{60} + 1 \times \frac{1}{10} + 2 \times \frac{7}{20} + 3 \times \frac{8}{15}$ $=$ $\displaystyle \frac{12}{5}$

$\displaystyle a = \frac{1}{10}$ , $\displaystyle b = \frac{7}{20}$ , $\displaystyle c = \frac{12}{5}$ 따라서 $10 a + 20 b + 5 c$ $= 20$

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