k·2^k 의 합을 공비로 빼서 구하기

$\displaystyle S = \sum\limits _{k = 1} ^{10} k \cdot 2 ^{k}$ 이라 하면 $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 ^{2} + 3 \cdot 2 ^{3} + \cdots + 10 \cdot 2 ^{10}$ …… ㉠ 양변에 $2$를 곱하면 $2 S = 1 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{3} + \cdots + 9 \cdot 2 ^{10} + 10 \cdot 2 ^{11}$ …… ㉡ ㉠$-$㉡을 하면 $- S = 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{10} - 10 \cdot 2 ^{11}$ $\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{10} - 1 )}{2 - 1} - 10 \cdot 2 ^{11}$ $= 2 ^{11} - 2 - 10 \cdot 2 ^{11} = - 9 \cdot 2 ^{11} - 2$ 따라서 $S = 9 \cdot 2 ^{11} + 2$이므로 답은 ④이다.