좌석 배치 경우의 수

[출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다. 그림과 같이 의자의 위치와 좌석 번호를 나타내고 각 가로줄을 $1$열, $2$열이라고 하자.

규칙 (가)에 의해 $\mathrm{A}$는 좌석 번호가 $24$ 또는 $25$인 의자에 앉을 수 있고, $\mathrm{B}$는 좌석 번호가 $11$ 또는 $12$ 또는 $13$ 또는 $14$인 의자에 앉을 수 있다. 규칙 (나), (다)에 의해 어느 두 학생도 양옆 또는 앞뒤로 이웃하여 앉지 않는다. $5$명의 학생이 앉을 수 있는 $5$개의 의자를 선택한 후 규칙 (가)에 의해 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 앉고 남은 $3$개의 의자에 나머지 $3$명의 학생이 앉는 것으로 경우의 수를 구할 수 있다. (ⅰ) $\mathrm{A}$가 좌석 번호가 $24$인 의자에 앉을 때

$\mathrm{A}$가 좌석 번호가 $24$인 의자에 앉으면 나머지 $4$명의 학생은 규칙 (나), (다)에 의해 좌석 번호가 $11$, $13$, $15$, $17$인 의자에 각각 한 명씩 앉아야 한다. 이때 $\mathrm{B}$는 규칙 (가)에 의해 좌석 번호가 $11$, $13$인 $2$개의 의자 중 $1$개의 의자에 앉아야 하므로 $\mathrm{B}$가 의자를 선택하여 앉는 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{C} _{1}$$= 2$ 위의 각 경우에 대하여 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 제외한 $3$명의 학생이 나머지 $3$개의 의자에 앉는 경우의 수는 $3 !$$= 3 \times 2 \times 1$$= 6$ 이때의 경우의 수는 $2 {\times} 6 = 12$ (ⅱ) $\mathrm{A}$가 좌석 번호가 $25$인 의자를 선택할 때

$\mathrm{A}$가 좌석 번호가 $25$인 의자에 앉으면 나머지 $4$명의 학생은 규칙 (나), (다)에 의해 좌석 번호가 $11$ 또는 $12$인 의자 중 하나, 좌석 번호가 $16$ 또는 $17$인 의자 중 하나, 좌석 번호가 $14$인 의자, 좌석 번호가 $23$인 의자에 각각 한 명씩 앉아야 한다. 좌석 번호가 $11$ 또는 $12$인 의자 중 하나를 선택하고(㉠) 좌석 번호가 $16$ 또는 $17$인 의자 중 하나를 선택하는 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{C} _{1} \times _{2} \mathrm{C} _{1}$$= 4$ 위의 각 경우에 대하여 $\mathrm{B}$는 규칙 (가)에 의해 ㉠에서 선택된 의자와 좌석 번호가 $14$인 의자 중 $1$개의 의자에 앉아야 하므로 $\mathrm{B}$가 의자를 선택하여 앉는 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{C} _{1}$$= 2$ 위의 각 경우에 대하여 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 제외한 $3$명의 학생이 나머지 $3$개의 의자에 앉는 경우의 수는 $3 !$$= 3 \times 2 \times 1$$= 6$ 이때의 경우의 수는 $4 \times 2 \times 6$$= 48$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $12 + 48$$= 60$