공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

좌표로 삼각형 넓이 증명

문제

그림과 같이 좌표평면 위에서 일직선 위에 있지 않은 세 점 A(x1,y1){\mathrm{A}} ( x _{1} , y _{1} ), B(x2,y2)\mathrm{B} ( x _{2} , y _{2} ), C(x3,y3){\mathrm{C}} ( x _{3} , y _{3} )에 대하여 a=x1−x3a = x _{1} - x _{3}, b=y1−y3b = y _{1} - y _{3}, c=x2−x3c = x _{2} - x _{3}, d=y2−y3d = y _{2} - y _{3} 이라 할 때 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 넓이는 12∣ad−bc∣\displaystyle \frac{1}{2} \left| a d - b c \right|임을 증명한 것이다.

<증명> 세 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}를 xx축의 방향으로 −x3- x _{3}만큼, yy축의 방향으로 −y3- y _{3}만큼 평행이동시킨 점을 각각 A′\mathrm{A}', B′\mathrm{B}', C′\mathrm{C}'이라 하면 a=x1−x3a = x _{1} - x _{3}, b=y1−y3b = y _{1} - y _{3}, c=x2−x3c = x _{2} - x _{3}, d=y2−y3d = y _{2} - y _{3} 이므로 C′A′‾=\displaystyle \overline{\mathrm{C}' A'} = (가)

이고, 직선 ‘C′A′` C' A'의 방정식은

(나)

이다. 이때 점 B′\mathrm{B}'에서 직선 ‘C′A′` C' A'에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 B′H‾=\displaystyle \overline{\mathrm{B}' H} = (다)

이다. 그런데 삼각형 A′B′C′\mathrm{A}' B' C'과 삼각형 ABC\mathrm{A} BC는 합동이므로 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 넓이는 12∣ad−bc∣\displaystyle \frac{1}{2} \left| a d - b c \right|이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)
①a2+b2\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}bx−ay=0b x - a y = 0∣ad−bc∣a2+b2\displaystyle \frac{\left| a d - b c \right|}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}
②a2+b2\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}ax−by=0a x - b y = 0∣ad−bc∣a2+b2\displaystyle \frac{\left| a d - b c \right|}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}
③a2+b2\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}bx−ay=0b x - a y = 0∣ad−bc∣2a2+b2\displaystyle \frac{\left| a d - b c \right|}{2 \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}
④c2+d2\displaystyle \sqrt{c ^{2} + d ^{2}}ax−by=0a x - b y = 0∣ad−bc∣2c2+d2\displaystyle \frac{\left| a d - b c \right|}{2 \sqrt{c ^{2} + d ^{2}}}
⑤c2+d2\displaystyle \sqrt{c ^{2} + d ^{2}}bx−ay=0b x - a y = 0∣ad−bc∣c2+d2\displaystyle \frac{\left| a d - b c \right|}{\sqrt{c ^{2} + d ^{2}}}
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①

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해설

[출제의도] 세 점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이의 공식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. A,B,C\mathrm{A} , B , C를 평행이동시키면 A′(a,b)\mathrm{A}' ( \mathit{a} , b ), B′(c,d)\mathrm{B}' ( \mathit{c} , d ), C′(0,0)\mathrm{C}' ( 0 , 0 )이다. C′A′‾=a2+b2\displaystyle \overline{\mathrm{C}' A'} = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} ……(가) 직선 C′A′\mathrm{C}' A'의 방정식은 y=bax\displaystyle y = \frac{b}{a} x에서 bx−ay=0bx - ay = 0 ……(나) B′H‾\displaystyle \mathrm{\overline{B' H}}는 점 B′(c,d)\mathrm{B}' ( \mathit{c} , d )에서 직선 bx−ay=0bx - ay = 0까지의 거리이므로 B′H‾=∣bc−ad∣a2+b2=∣ad−bc∣a2+b2\displaystyle \mathrm{\overline{B' H}} = \frac{\mathit{\left| bc - ad \right|}}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} = \frac{| ad - bc |}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} ……(다)

따라서 삼각형 A′B′C′\mathrm{A}' B' C'의 넓이 SS는 S=12C′A′‾×B′H‾=12∣ad−bc∣\displaystyle S = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{C' A'}} \times \overline{B' H} = \frac{1}{2} \mathit{\left| ad - bc \right|}

태그

#증명 빈칸#점과 직선 사이의 거리

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