좌표공간 삼각형 넓이 최소

$\displaystyle \overline{AB} = \sqrt{( b - a ) ^{2} + a ^{2} + b ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{8 - 2 ab}$ $\displaystyle \overline{BC} = \sqrt{b ^{2} + ( b - a ) ^{2} + a ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{8 - 2 ab}$ $\displaystyle \overline{CA} = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + ( b - a ) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{8 - 2 ab}$ 에서 $\displaystyle \overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CA}$이므로 $\triangle ABC$는 정삼각형이다. 따라서 $\triangle ABC$의 넓이$S$는 $\displaystyle S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \sqrt{8 - 2 ab} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} ( 8 - ab )$ 이 때, $S$가 최소가 되려면 $ab$의 값이 최대가 되어야 한다. $a > 0 , b > 0$이므로 $\displaystyle 4 = a ^{2} + b ^{2} \geq 2 \sqrt{a ^{2} b ^{2}}$$= 2 ab$ ∴ $ab \leq 2$ (단, 등호는 $a = b$일 때, 성립한다.) $ab$의 최대값이 $2$이므로 $S$의 최소값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} ( 8 - 4 ) = \sqrt{3}$이다.