주사위 이동 확률변수

[출제의도] 확률분포를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 주사위를 반복해서 던져 점 $( 0 , 0 )$에서 점 $( 6 , 2 )$까지 이동하는 모든 경우의 수를 $N$이라 하자. 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 $k$라 하면 $k = {\square {3}}$이고, 가장 큰 값은 $k + 2$이다. $\displaystyle P ( X = k ) = \frac{1}{N} \times \frac{3 !}{2 !} \times 3 ^{2} = \frac{3 ^{3}}{N} = \frac{27}{N}$ $\displaystyle P ( X = k + 1 ) = \frac{1}{N} \times \frac{4 !}{2 !} \times 3 ^{2} = \frac{4 \times 3 ^{3}}{N} = \frac{108}{N}$ $\displaystyle P ( X = k + 2 ) = \frac{1}{N} \times \frac{5 !}{3 ! 2 !} \times 3 ^{2} = \frac{{\square {90}}}{N}$ 이고 $\displaystyle \sum\limits _{i = k} ^{k + 2} P ( X = i ) = 1$ 이므로 $N = {\square {225}}$ 이다. 따라서 확률변수 $X$의 평균 $E ( X )$는 다음과 같다. $\displaystyle E ( X ) = \sum\limits _{i = k} ^{k + 2} \left\{ i \times P ( X = i ) \right\} = \frac{963}{225} = \frac{107}{25}$ 따라서 $a = 3 , b = 90 , c = 225$이므로 $a + b + c = 318$