확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주사위 반복 시행의 상금 기댓값

문제

눈의 수가 11부터 66까지인 주사위를 던져서 눈의 수가 11 또는 66이 나올 때까지 반복한다. 한 번 던지고 중지하면 10001000원을 받고, 두 번 던지고 중지하면 20002000원을 받는다. 이와 같이 계속하여 nn번 던지고 중지하면 n×1000n \times 1000원을 받을 때, 받는 돈의 기댓값은? [5점] ①10001000원②15001500원③20002000원④25002500원⑤30003000원

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⑤

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해설

중지할 때 까지 던진 주사위 횟수를 확률변수 XX라 하면,

XX112233⋯\cdots
p(X)p ( X )13\displaystyle \frac{1}{3}23⋅13\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}13⋅(23)2\displaystyle \frac{1}{3} \cdot ( \frac{2}{3} ) ^{2}⋯\cdots

즉 확률질량함수 p(x)=(13)(23)n−1\displaystyle p ( x ) = \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{n - 1}이며, E(1000X)=10003∑n=1∞n(23)n−1\displaystyle E ( 1000 X ) = \frac{1000}{3} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} n \left( \frac{2}{3} \right) ^{n - 1}이고 멱급수 계산을 이용하여 값을 구하면, E(1000X)=10003∑n=1∞n(23)n−1=3000\displaystyle E ( 1000 X ) = \frac{1000}{3} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} n \left( \frac{2}{3} \right) ^{n - 1} = 3000이다.

태그

#기댓값#무한급수

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