대수삼각함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

중심각의 범위가 주어진 부채꼴의 최대 넓이

문제

둘레의 길이가 2424이고 중심각의 크기 θ\theta가 0<θ≤10 < \theta \leq 1인 부채꼴의 넓이의 최댓값은? [4점] ①3030②3232③3434④3636⑤4040

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②

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해설

부채꼴의 반지름의 길이를 rr이라 하면 둘레의 길이가 2424이므로 2r+rθ=242 r + r \theta = 24에서 θ=24−2rr\displaystyle \theta = \frac{24 - 2 r}{r} 0<θ≤10 < \theta \leq 1에서 0<24−2rr≤1\displaystyle 0 < \frac{24 - 2 r}{r} \leq 1이므로 24−2r>024 - 2 r > 0이고 24−2r≤r24 - 2 r \leq r 즉 8≤r<128 \leq r < 12 부채꼴의 넓이 SS는 S=12r2θ=12r(24−2r)=−r2+12r=−(r−6)2+36\displaystyle S = \frac{1}{2} r ^{2} \theta = \frac{1}{2} r ( 24 - 2 r ) = - r ^{2} + 12 r = - ( r - 6 ) ^{2} + 36 8≤r<128 \leq r < 12에서 SS는 rr이 커질수록 감소하므로 r=8r = 8일 때 최대이다. 따라서 넓이의 최댓값은 −64+96=32- 64 + 96 = 32이다. 답 ②

태그

#부채꼴의 넓이#최댓값#중심각의 범위

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