중선과 피타고라스 빈칸

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 변 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{D}$, 변 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{E}$, 선분 $\mathrm{AE}$와 선분 $\mathrm{CD}$의 교점을 $\mathrm{G}$라 하자.

다음은 $\angle \mathrm{DGE} = 90 ^\circ$일 때, 선분 $\mathrm{BD}$, 선분 $\mathrm{BE}$, 선분 $\mathrm{DE}$사이의 관계식을 구하는 과정이다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{EG}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} = \mathit{y}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AG}} =$(가) $x$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} =$(가) $y$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} ^{2} =$(나) $x ^{2} + y ^{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CE}} ^{2} = x ^{2} +$(나) $y ^{2}$이다. 한편 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{BD}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \overline{BE}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} ^{2} + \overline{BE} ^{2} =$(다) $\left( x ^{2} + y ^{2} \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} ^{2} + \overline{BE} ^{2} =$(다) $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} ^{2}$이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a , b , c$라 할 때, $a + b + c$의 값은? [4점] ①$8$②$9$③$10$④$11$⑤$12$