미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

중선 각 덧셈정리

문제

AB‾=1,BC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 1 , \overline{BC} = 2인 삼각형ABC\mathrm{ABC}의 변BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하고,∠BAM=α,∠CAM=β\mathrm{\angle} BAM = \alpha , \angle CAM = \beta라 하자. cos⁡2α=14\displaystyle \cos 2 \alpha = \frac{1}{4}일 때, 8cos⁡(2α−β)8 \cos ( 2 \alpha - \beta )의 값은? [4점] ①15\displaystyle \sqrt{15}②44③17\displaystyle \sqrt{17}④32\displaystyle 3 \sqrt{2}⑤19\displaystyle \sqrt{19}

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①

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해설

∠ABM=π−2α\mathrm{\angle} ABM = \pi - 2 \alpha이므로 코사인정리에 의해서 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}=AB‾2+BC‾2−2AB‾⋅BC‾⋅cos⁡(π−2α)\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{BC}} ^{2} - 2 \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos ( \pi - 2 \alpha )} =12+22−2⋅1⋅2⋅(−14)\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \left( - \frac{1}{4} \right)} (∵ cos⁡(π−2α)=−cos⁡2α=−14\displaystyle \cos ( \pi - 2 \alpha ) = - \cos 2 \alpha = - \frac{1}{4} =6\displaystyle = \sqrt{6} cos⁡2α=1−2sin⁡2α=14\displaystyle \cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin ^{2} \alpha = \frac{1}{4}에서 sin⁡α=64\displaystyle \sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{4} AMC\mathrm{AMC}에서 사인법칙을 이용하면 ∠AMC=π−α\angle \mathrm{AMC} = \pi - \alpha이므로 MC‾sin⁡β=AC‾sin⁡(π−α)\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{MC}}}{\sin \beta} = \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{\sin ( \pi - \alpha )} ∴ sin⁡β\sin \beta=14\displaystyle = \frac{1}{4} α=β+∠ACM\mathrm{\alpha} = \beta + \angle ACM이므로 α>β\alpha > \beta이고 2α2 \alpha가 예각 (∵ cos⁡2α>0\cos 2 \alpha > 0)이므로 α\alpha, β\beta도 예각이다. ∴ sin⁡2α=cos⁡β=1−(14)2=154\displaystyle \sin 2 \alpha = \cos \beta = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{4} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4} ∴ cos⁡(2α−β)\cos ( 2 \alpha - \beta )=cos⁡2αcos⁡β+sin⁡2αsin⁡β= \cos 2 \alpha \cos \beta + \sin 2 \alpha \sin \beta =14⋅154+154⋅14=158\displaystyle = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8} ∴ 8cos⁡(2α−β)=15\displaystyle 8 \cos ( 2 \alpha - \beta ) = \sqrt{15}

태그

#삼각함수의 덧셈정리#삼각형

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