중점의 x좌표 최솟값

[출제의도] 절대부등식을 활용하여 문제해결하기 이차함수 $f \left( x \right) = x ^{2} - 2 ax$의 그래프와 직선 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{a} x$가 만나는 점 $\mathrm{A}$는 $\displaystyle x ^{2} - 2 ax = {\frac{1}{a}} x$ $\displaystyle x - 2 a = {\frac{1}{a}}$ ($\because$ $x > 0$) $\displaystyle x = 2 a + {\frac{1}{a}}$, $\displaystyle y = 2 + \frac{1}{a ^{2}}$ $\therefore$ $\mathrm{A}$$\displaystyle \left( 2 a + \frac{1}{a} , 2 + {\frac{1}{a ^{2}}} \right)$ 이차함수 $f \left( x \right) = x ^{2} - 2 ax$$= \left( x - a \right) ^{2} - a ^{2}$의 그래프의 꼭짓점은 ${\mathrm{B}} \left( a , - a ^{2} \right)$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점은 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\mathit{3}}{2} a + \frac{1}{2 a} , 1 + {\frac{1}{2 a ^{2}} - \frac{a ^{2}}{2}} \right)$ 선분 $\mathrm{CH}$의 길이는 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표와 같으므로 ($\because$ $a > 0$) 선분 $\mathrm{CH}$의 길이의 최솟값은 $\displaystyle \frac{3}{2} a + \frac{1}{2 a}$$\displaystyle \geq 2 \sqrt{\frac{3}{2} a \times \frac{1}{2 a}}$=$\displaystyle \sqrt{3}$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$단, 등호는 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{3}$일 때 성립한다.$\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$