중점과 거리 최솟값

[출제의도] 무리함수의 그래프 위의 점과 직선 사이의 거리를 이용한 문제를 해결한다.

곡선 $\displaystyle y = 2 \sqrt{x}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = x + 2$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $y = x + 2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{PH}$의 수직이등분선 위에 있으므로 두 점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{A}$ 사이의 거리의 최솟값은 점 $\mathrm{A}$와 선분 $\mathrm{PH}$의 수직이등분선 사이의 거리의 최솟값과 같다. 즉, 직선 $y = x + 2$와 선분 $\mathrm{P} H$의 수직이등분선 사이의 거리의 최솟값과 점 $\mathrm{A}$와 직선 $y = x + 2$ 사이의 거리의 합과 같다. 직선 $y = x + 2$와 선분 $\mathrm{P} H$의 수직이등분선 사이의 거리의 최솟값은 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = x + 2$ 사이의 거리의 최솟값의 $\displaystyle \frac{1}{2}$과 같다. 점 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{a} , 2 \sqrt{a} )$라 할 때, 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = x + 2$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| a - 2 \sqrt{a} + 2 |}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{| ( \sqrt{a} - 1 ) ^{2} + 1 |}{\sqrt{2}}$이므로 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = x + 2$ 사이의 거리의 최솟값은 $a = 1$일 때 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$이다. 그러므로 직선 $y = x + 2$와 선분 $\mathrm{P} H$의 수직이등분선 사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{4}$이다. 점 $\mathrm{A} ( 0 , 8 )$과 직선 $y = x + 2$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| 0 - 8 + 2 |}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{2}$이다. 따라서 두 점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{A}$ 사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \sqrt{2}$$\displaystyle = \frac{13 \sqrt{2}}{4}$이다. [보충 설명] 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = x + 2$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 (ⅰ) 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{PH}$의 수직이등분선 위에 있고, (ⅱ) 선분 $\mathrm{PH}$의 수직이등분선 위를 움직이는 점 $\mathrm{M}$에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점이 $\mathrm{M}$이 되는, 직선 $y = x + 2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$가 존재함을 보이자. (ⅰ) 직선 $y = x + 2$ 위의 한 점 $\mathrm{Q}'$을 선택하고 선분 $\mathrm{PQ}'$의 중점을 $\mathrm{M}'$이라 하자. 점 $\mathrm{Q}'$이 점 $\mathrm{H}$와 같은 경우 점 $\mathrm{M}'$은 선분 $\mathrm{PH}$의 중점이다. 점 $\mathrm{Q}'$이 점 $\mathrm{H}$와 같지 않은 경우 점 $\mathrm{M}'$에서 선분 $\mathrm{PH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하자. 이때, 직각삼각형 $\mathrm{PM}' I$와 직각삼각형 $\mathrm{PQ}' H$는 닮은 도형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM'}} = \overline{M' Q'}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{P I}} = {\overline{IH}}$이다. 즉, 점 $\mathrm{M}'$은 선분 $\mathrm{PH}$의 수직이등분선 위의 점이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$가 고정되었을 때 직선 $y = x + 2$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{PH}$의 수직이등분선 위의 점이다. (ⅱ) 선분 $\mathrm{P} H$의 수직이등분선 위의 한 점 $\mathrm{M}'$을 선택하고 선분 $\mathrm{PM}'$의 연장선이 직선 $y = x + 2$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}'$이라 하자. 점 $\mathrm{M}'$이 선분 $\mathrm{P} H$의 중점 $\mathrm{I}$와 일치하는 경우 점 $\mathrm{Q}'$은 직선 $y = x + 2$ 위의 점 $\mathrm{H}$와 일치한다. 점 $\mathrm{M}'$이 선분 $\mathrm{P} H$의 중점 $\mathrm{I}$와 일치하지 않는 경우 두 점 $\mathrm{M}'$, $\mathrm{I}$를 선분으로 연결하자. 직각삼각형 $\mathrm{PM}' I$와 직각삼각형 $\mathrm{PQ}' H$는 닮은 도형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{P I}} = {\overline{IH}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM'}} = \overline{M' Q'}$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$가 고정되었을 때 선분 $\mathrm{PH}$의 수직이등분선 위를 움직이는 점 $\mathrm{M}$에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점이 $\mathrm{M}$이 되는, 직선 $y = x + 2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$가 존재한다.