미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

중점 수열의 극한

문제

수직선 위에 두 점 P1(0)\mathrm{P} _{1} ( 0 )과 P2(80)\mathrm{P} _{2} ( 80 )이 있다. 선분 P1P2\mathrm{P} _{1} P _{2}의 중점을 P3(x3)\mathrm{P} _{3} \mathit{(} x _{3} ), 선분 P2P3\mathrm{P} _{2} P _{3}의 중점을 P4(x4),⋯\mathrm{P} _{4} \mathit{(} x _{4} ) , \cdots, 선분 PnPn+1\mathrm{P} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}의 중점을 Pn+2(xn+2)\mathrm{P} _{\mathit{n} + 2} ( \mathit{x} _{n + 2} )라 할 때, lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x _{n}의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. [3점]

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53.3353.33

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해설

xn+1=xn+xn+12\displaystyle x _{n+1} = \frac{x _{n} + x _{n+1}}{2}, xn+1=12xn+1+12xn\displaystyle x _{n+1} = \frac{1}{2} x _{n+1} + \frac{1}{2} x _{n} xn+2−αxn=β(xn+1−αxn)x _{n + 2} - \alpha x _{n} = \beta ( x _{n + 1} - \alpha x _{n} )에서 xn+2−xn+1=−12(xn+1−xn)\displaystyle x _{n + 2} - x _{n + 1} = - \frac{1}{2} ( x _{n + 1} - x _{n} ) xn=x1+∑k=1n80(−12)k−1\displaystyle x _{n} = x _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n} 80 \left( - \frac{1}{2} \right) ^{k - 1}=0+80{1−(−12)n−1}1−(−12)\displaystyle = 0 + 80 \frac{\left\{ 1 - \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n-1} \right\}}{1 - \left( - \frac{1}{2} \right)} =1603{1−(−12)n−1}\displaystyle = \frac{160}{3} \left\{ 1 - \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n-1} \right\} ∴lim⁡n→∞xn=1603\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} x _{n} = \frac{160}{3}≈53.33\approx 53.33

태그

#점화식#등비수열

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