중점 사각형 급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $\displaystyle 1 + \sqrt{3}$인 정사각형$\mathrm{ABCD}$가 있다. 두 변$\mathrm{AB}$와$\mathrm{BC}$를 $\displaystyle 1 : \sqrt{3}$으로 내분하는 점을 각각$\mathrm{P} , Q$라 하고, 두 변$\mathrm{CD}$와$\mathrm{DA}$를 $\displaystyle \sqrt{3} : 1$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{R} , S$라 하자. 이때, 두 선분$\mathrm{PR} , QS$의 교점을$\mathrm{T}$라 하고, 네 사각형$\mathrm{APTS} , PBQT , TQCR , STRD$를 만든다. 먼저 사각형$\mathrm{APTS}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $A _{1}$, 사각형 $A _{1}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $A _{2}$, 사각형 $A _{2}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $A _{3}$라 하자. 또, 사각형$\mathrm{PBQT}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $B _{1}$, 사각형 $B _{1}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $B _{2}$, 사각형 $B _{2}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $B _{3}$라 하자. 또, 사각형$\mathrm{TQCR}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $C _{1}$, 사각형 $C _{1}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $C _{2}$, 사각형 $C _{2}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $C _{3}$라 하자. 또, 사각형$\mathrm{STRD}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $D _{1}$, 사각형 $D _{1}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $D _{2}$, 사각형 $D _{2}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $D _{3}$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 사각형 $A _{n} , B _{n} , C _{n} , D _{n}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 각각 $A _{n+1} , B _{n+1} , C _{n+1} ,$$D _{n+1}$이라 하자. 사각형 $A _{n} , B _{n} , C _{n} , D _{n}$의 넓이를 각각 $a _{n} , b _{n} , c _{n} , d _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( a _{n} - b _{n} + c _{n} - d _{n} \right) = p + q \sqrt{3}$을 만족시키는 두 유리수 $p , q$의 합 $p + q$의 값은? [3점] ①$- 2$②$- 1$③$0$④$1$⑤$2$