중점 조건과 두 직선 위의 두 점

실마리: 점 $\mathrm{B}$는 직선 $l _{1}$ 위의 점 $\mathrm{A}$를 점 $\mathrm{P}$에 대하여 대칭이동한 점이다. 직선 $l _{1}$을 점 $\mathrm{P} ( 5 , 4 )$에 대하여 대칭이동한 직선을 $m$이라 하면, $x$ 대신 $10 - x$, $y$ 대신 $8 - y$를 대입하여 $8 - y = 2 ( 10 - x )$ $8 - y = 20 - 2 x$ $y = 2 x - 12$ 점 $\mathrm{B}$는 직선 $m$ 위에 있고 직선 $l _{2}$ 위에도 있으므로 $2 x - 12 = - x + 12$ $3 x = 24$에서 $x = 8$, $y = 4$이므로 $\mathrm{B} ( 8 , 4 )$ 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\mathrm{A} ( 2 \times 5 - 8 , 2 \times 4 - 4 )$, 즉 $\mathrm{A} ( 2 , 4 )$ 점 $\mathrm{A}$는 직선 $l _{1}$ 위의 점이다. ($2 \times 2 = 4$) 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( 8 - 2 ) ^{2} + ( 4 - 4 ) ^{2}} = 6$ (다른 풀이) 점 $\mathrm{A} ( t , 2 t )$로 놓으면 $\mathrm{B} ( 10 - t , 8 - 2 t )$이고, 점 $\mathrm{B}$가 $l _{2}$ 위에 있으므로 $8 - 2 t = - ( 10 - t ) + 12$에서 $t = 2$로 같은 결과를 얻는다.