중점 규칙으로 정한 점열

점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표를 나열하면 $- 1 , 1 , - 1 , 1 , \cdots$이므로 점 $\mathrm{P} _{25}$의 $x$좌표 $a$는 $- 1$이다. 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 $y$좌표를 나열하면 $0 , 0 , 2 , - 2 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , \cdots$이므로 홀수번째 항으로 이루어진 수열은 첫째항이 $0$이고 공차가 $2$인 등차수열이므로 점 $\mathrm{P} _{25}$의 $y$좌표 $b$는 $b = 0 + ( 13 - 1 ) \cdot 2 = 24$ $\therefore a + b = 23$ [다른 풀이] $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 좌표를 $( a _{n} , b _{n} )$이라 할 때, 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$$\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}$의 중점과 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n} + 2}$$\mathrm{P} _{\mathit{n} + 3}$의 중점이 같으므로 $a _{n} + a _{n + 1} = a _{n + 2} + a _{n + 3}$ $b _{n} + b _{n + 1} = b _{n + 1} + b _{n + 2} \cdots \cdots \text{㉠}$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$에서 $a _{1} = - 1$, $a _{2} = 1$, $a _{3} = - 1$, …이므로 $a _{n} = ( - 1 ) ^{n}$ 또한, 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$에서 $b _{1} = 0$, $b _{2} = 0$, $b _{3} = 2$이므로 ㉠에 의하여 $b _{4} = - 2 , b _{5} = 4 , b _{6} = - 4 ,$… $b _{2n-1} = 2 n - 2 , b _{2n} = - 2 n + 2$ $\therefore a _{25} = ( - 1 ) ^{25} = - 1 , b _{25} = 2 \cdot 13 - 2 = 24$ 따라서 $\mathrm{P} _{25}$의 좌표는 $( - 1 , 24 )$이므로 $a + b = 23$