공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

중근과 나머지정리

문제

이차식 $f ( x )$ 와 일차식 $g ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f ( x ) - g ( x ) = 0$ 이 중근 $1$ 을 갖는다. (나) 두 다항식 $f ( x )$ , $g ( x )$ 를 $x - 2$ 로 나누었을 때의 나머지는 각각 $2$ , $5$ 이다.

다항식 $f ( x ) - g ( x )$ 를 $x + 1$ 로 나누었을 때의 나머지는? [4점] ① $- 16$ ② $- 14$ ③ $- 12$ ④ $- 10$ ⑤ $- 8$

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③

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해설

$f ( x )$ 는 이차식, $g ( x )$ 는 일차식이므로 $f ( x ) - g ( x ) = 0$ 은 이차방정식이고 조건 (가)에 의해 $f ( x ) - g ( x ) = a ( x - 1 ) ^{2}$ ( $a$ 는 상수) $\cdots \text{㉠}$ 조건 (나)에 의해 $f ( 2 ) = 2$ , $g ( 2 ) = 5$ $\text{㉠}$ 에 $x = 2$ 를 대입하면 $f ( 2 ) - g ( 2 ) = a$ 즉, $a = - 3$ $f ( x ) - g ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ^{2}$ 나머지정리에 의해 $f ( - 1 ) - g ( - 1 ) = - 12$ 따라서 $- 12$

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