미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

중근 조건 수열 극한

문제

첫째 항이 2\mathrm{2}이고 모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 있다. 다음 이차방정식은 모든 자연수 nn에 대하여 중근을 갖는다. x2−anx+(an+1−1)=0\displaystyle x ^{2} - \sqrt{a _{n}} x + \left( a _{n + 1} - 1 \right) = 0 이때, 극한 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n}의 값은? [4점] ①0\mathrm{0}②12\displaystyle \frac{1}{2}③23\displaystyle \frac{2}{3}④1\mathrm{1}⑤43\displaystyle \frac{4}{3}

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⑤

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해설

이차방정식 x2−anx+(an+1−1)=0\displaystyle x ^{2} - \sqrt{a _{n}} x + ( a _{n+1} - 1 ) = 0이 중근을 가지므로 D=(an)2−4(an+1−1)=0\displaystyle D = ( \sqrt{a _{n}} ) ^{2} - 4 ( a _{n+1} - 1 ) = 0 에서 4an+1−4=an⋯⋯4 a _{n + 1} - 4 = a _{n} \cdots \cdots ㉠ 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \alpha 로 수렴하므로 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞an+1=α⋯⋯\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} = \alpha \cdots \cdots ㉡ ㉠, ㉡에서 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(4an+1−4)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( 4 a _{n+1} - 4 ) ∴ α=4α−4\alpha = 4 \alpha - 4 ∴ α=43\displaystyle \alpha = \frac{4}{3}

태그

#수열의 극한#판별식#점화식

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