대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

중근 조건 등비수열 합

문제

첫째항이 22이고 모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 있다. xx에 대한 이차방정식 anx2−an+1x+an=0a _{n} x ^{2} - a _{n+1} x + a _{n} = 0 이 모든 자연수 nn에 대하여 중근을 가질 때, ∑k=18ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k}의 값을 구하시오. [4점]

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510

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기 판별식 D=(an+1)2−4(an)2=0D = \left( a _{n+1} \right) ^{2} - 4 \left( a _{n} \right) ^{2} = 0 (an+1+2an)(an+1−2an)=0\left( a _{n + 1} + 2 a _{n} \right) \left( a _{n + 1} - 2 a _{n} \right) = 0 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 모든 항이 양수이므로 an+1=2ana _{n+1} = 2 a _{n} 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 22, 공비가 22인 등비수열이다. 따라서 ∑k=18ak=2(28−1)2−1=510\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k} = \frac{2 \left( 2 ^{8} - 1 \right)}{2 - 1} = 510

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#판별식#등비수열의 합

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