줄어드는 삼차함수 반복

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3} x \left( x - 3 \right) \left( x + 3 \right)$ $f' \left( x \right)$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} \left( x - \sqrt{3} \right) \left( x + \sqrt{3} \right)$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

자연수 $k$에 대하여 $6 k - 3 \leq x < 6 k + 3$일 때 함수 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{k + 1} f \left( x - 6 k \right)$ $k + 1$이 $12$의 양의 약수가 될 때 함수 $g \left( x \right)$의 극댓값이 자연수이므로 $k$$= 1 , 2 , 3 , 5 , 11$일 때 함수 $g \left( x \right)$의 극댓값은 각각 $6 , 4 , 3 , 2 , 1$이다. $a _{1}$$= 2 \times 11 + 1$$= 23$ $a _{2}$$= 2 \times 5 + 1$$= 11$ $a _{3}$$= 2 \times 3 + 1$$= 7$ $a _{4}$$= 2 \times 2 + 1$$= 5$ $a _{5}$$= 2 \times 2$$= 4$ $a _{6}$$= 2 \times 1 + 1$$= 3$ $7 \leq n \leq 11$일 때, $a _{n}$$= 2 \times 1$$= 2$ $a _{12}$$= 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{12} a _{n}$$= 23 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \times 5 + 1$$= 64$