주기적 수열의 합

자연수 $m$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \begin{cases} 9 + m & & \left( n = 3 m - 2 \right) \\ 19 + m & & \left( n = 3 m - 1 \right) \\ m & & \left( n = 3 m \right) \end{cases}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{3 n} a _{k} = n$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = n$ (ⅰ) $n = 3 m - 2$인 경우 $9 + m = 3 m - 2$에서 $\displaystyle m = \frac{11}{2}$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. (ⅱ) $n = 3 m - 1$인 경우 $19 + m = 3 m - 1$에서 $m = 10$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $29$이다. (ⅲ) $n = 3 m$인 경우 $m = 3 m$에서 $m = 0$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 자연수 $n$의 값은 $29$