대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주기함수와 로그 교점

문제

함수 $f \left( x \right)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $- 1 \leq x < 1$ 에서 $f \left( x \right) = \left| 2 x \right|$ 이다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f \left( x + 2 \right) = f \left( x \right)$ 이다.

자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y = f \left( x \right)$ 의 그래프와 함수 $y = \log _{2 n} x$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a _{n}$ 이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} a _{n}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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553

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 곡선 $y = \log _{2 n} x$ 는 점 $\left( 4 n ^{2} , 2 \right)$ 를 지난다.

그러므로 자연수 $k$ 에 대하여 닫힌 구간 $\left[ k , k + 1 \right]$ 에서 곡선 $y = \log _{2 n} x$ 와 함수 $y = f \left( x \right)$ 의 그래프가 만나는 점의 개수는 $1$ 이다. (단, $1 \leq k \leq 4 n ^{2} - 1$ ) $\therefore$ $a _{n} = 4 n ^{2} - 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{7} \left( 4 n ^{2} - 1 \right)$ $\displaystyle = 4 \times \frac{7 \times 8 \times 15}{6} - 7 = 553$

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