대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주기함수와 지수함수 교점

문제

함수 f(x)f ( x )는 모든 실수 xx에 대하여 f(x+2)=f(x)f ( x + 2 ) = f ( x )를 만족시키고, f(x)=∣x−12∣+1(−12≤x<32)\displaystyle f ( x ) = \left| x - \frac{1}{2} \right| + 1 \left( - \frac{1}{2} \leq x < \frac{3}{2} \right) 이다. 자연수 nn에 대하여 지수함수 y=2xn\displaystyle y = 2 ^{\frac{x}{n}}의 그래프와 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프의 교점의 개수가 55가 되도록 하는 모든 nn의 값의 합은? [4점] ①77②99③1111④1313⑤1515

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②

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해설

y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 −12≤x<32\displaystyle - \frac{1}{2} \leq x < \frac{3}{2}에서 f(x)=∣x−12∣+1\displaystyle f ( x ) = \left| x - \frac{1}{2} \right| + 1이고 주기가 22인 주기함수이므로 다음과 같다.

그리고, y=2xn\displaystyle y = 2 ^{\frac{x}{n}}의 그래프는 다음과 같다,.

이 때, y=f(x)y = f ( x )와 y=2xn\displaystyle y = 2 ^{\frac{x}{n}}의 교점의 개수가 55개이려면 다음의 그래프와 같이 n=4n = 4 또는 n=5n = 5일 때 뿐이다.

따라서 nn의 값의 합은 4+5=94 + 5 = 9이다.

태그

#지수함수 그래프#교점의 개수

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