주기함수의 실근 개수

[출제의도] 연속함수의 성질을 이용하여 미지수의 값을 구한다. 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 조건 (가)와 (나)에서 $f \left( 4 \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} f \left( x \right)$$= 16 a + 4 b - 24$이고 $f \left( 0 \right)$$= f \left( 4 \right)$이므로 $- 24$$= 16 a + 4 b - 24$에서 $b$$= \mathit{-} 4 a$ $\cdots \cdots$ ㉠ $0 \leq x < 4$에서 $f \left( x \right)$$= a \left( x - 2 \right) ^{2} - 4 a - 24$이므로 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x$$= 2$에 대하여 대칭이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x + 4 \right)$$= f \left( x \right)$이므로 $1 < x < 2$일 때 방정식 $f \left( x \right)$$= 0$이 실근을 갖지 않으면 $1 < x < 10$일 때 방정식 $f \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$ 이하이다. $1 < x < 2$일 때 방정식 $f \left( x \right)$$= 0$이 실근을 $1$개 가지면 $1 < x < 10$일 때 방정식 $f \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $5$이다. 함수 $f \left( x \right)$는 닫힌구간 $\left[ 1 , 2 \right]$에서 연속이므로 $f \left( 1 \right) f \left( 2 \right)$$= \left( - 3 a - 24 \right) \left( - 4 a - 24 \right)$$= 12 \left( a + 8 \right) \left( a + 6 \right)$$< 0$ $- 8 < a < \mathit{-} 6$이고 $a$는 정수이므로 $a$$= \mathit{-} 7$ ㉠에 의하여 $b$$= 28$ 따라서 $a + b$$= \mathit{-} 7 + 28$$= 21$