주기함수의 미분가능성

ㄱ. (참) $g ( x + 2 ) = g ( x )$이므로 함수 $g ( x )$의 그래프는 $- 1 \leq x < 1$일 때의 함수 $f ( x )$의 그래프가 주기적으로 반복된다. 한편, $f ( - 1 ) = f ( 1 )$이므로 함수 $g ( x )$는 연속이다. 또한, $- 1 < x < 1$에서 $f ( x )$는 다항함수이므로 미분가능하고, $f' ( - 1 ) = f' ( 1 )$이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. ㄴ. (거짓) [반례] $f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2}$이라 하면 $f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0$, $f' ( - 1 ) = f' ( 1 ) = 0$이므로 $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지만 $f' ( 0 ) f' ( 1 ) = 0$ ㄷ. (참) $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $f' ( 1 ) > 0$이므로 $f' ( - 1 ) > 0$ 한편, $f ( x ) = x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$라 하면 $f' ( x ) = 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx + c$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} f ( x ) = - \infty < 0$이므로 사잇값 정리에 의하여 구간 $( - \infty , - 1 )$에 $f' ( c ) = 0$인 $c$가 존재한다. 따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.