미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주기함수의 정적분

문제

함수 $f ( x )$ 는 다음 두 조건을 만족한다.

(가) $- 2 \leq x \leq 2$ 일 때, $f ( x ) = x ^{3} - 4 x$ (나) 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f ( x ) = f ( x + 4 )$

정적분 $\displaystyle \int _{1} ^{2} f ( x ) dx$ 와 같은 것은? [4점] ① $\displaystyle \int _{2004} ^{2005} f ( x ) dx$ ② $\displaystyle - \int _{2004} ^{2005} f ( x ) dx$ ③ $\displaystyle \int _{2005} ^{2006} f ( x ) dx$ ④ $\displaystyle - \int _{2005} ^{2006} f ( x ) dx$ ⑤ $\displaystyle \int _{2006} ^{2007} f ( x ) dx$

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③

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해설

조건 (나)에서 함수 $f ( x )$ 는 주기가 $4$ 인 주기함수이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{2} f ( x ) dx$ 와 같은 값을 가지려면 $\displaystyle \int _{1+4k} ^{2+4k} f ( x ) dx$ ( $k$ 는 정수)의 꼴이어야 한다. $2006 = 2 + 4 \cdot 501$ , $2005 = 1 + 4 \cdot 501$ 이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{2} f ( x ) dx = \int _{2005} ^{2006} f ( x ) dx$

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