주기함수 순서쌍 개수

[출제의도] 주어진 함수의 그래프와 조건을 이해하여 수열의 합을 추측한다. 닫힌 구간 $[ 0 , 2 ]$에서 함수 $g ( x ) = x + f ( x )$는 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} 1 & ( 0 \leq x < 1 ) \\ 2 x - 1 & ( 1 \leq x \leq 2 ) \end{cases}}$ 이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x + 2 ) = ( x + 2 ) + f ( x + 2 )$ $= x + 2 + f ( x )$ $= g ( x ) + 2$ 이므로 제$1$사분면에서 함수 $g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

이때 $a$, $b$는 자연수이므로 순서쌍 $( a , b )$는 그림에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수인 점으로 나타내어진다. 또, $a = n$일 때 주어진 조건을 만족시키는 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $g ( n )$과 같다. 따라서 $a _{1} = g ( 1 ) + g ( 2 ) + g ( 3 ) = 1 + 3 + 3 = 7$, $a _{2} = g ( 2 ) + g ( 3 ) + g ( 4 ) = 3 + 3 + 5 = 11$, $a _{3} = g ( 3 ) + g ( 4 ) + g ( 5 ) = 3 + 5 + 5 = 13$, $a _{4} = g ( 4 ) + g ( 5 ) + g ( 6 ) = 5 + 5 + 7 = 17$, $a _{5} = g ( 5 ) + g ( 6 ) + g ( 7 ) = 5 + 7 + 7 = 19$, $a _{6} = g ( 6 ) + g ( 7 ) + g ( 8 ) = 7 + 7 + 9 = 23$, $a _{7} = g ( 7 ) + g ( 8 ) + g ( 9 ) = 7 + 9 + 9 = 25$, $a _{8} = g ( 8 ) + g ( 9 ) + g ( 10 ) = 9 + 9 + 11 = 29$ $\vdots$ 여기서 $a _{3} - a _{1} = a _{5} - a _{3} = a _{7} - a _{5} = \cdots = 6$, $a _{4} - a _{2} = a _{6} - a _{4} = a _{8} - a _{6} = \cdots = 6$ 이므로 자연수 $n$에 대하여 $a _{2 n - 1}$과 $a _{2 n}$을 추론하면 $a _{2 n - 1} = a _{1} + 6 ( n - 1 ) = 7 + 6 ( n - 1 ) = 6 n + 1$ $a _{2 n} = a _{2} + 6 ( n - 1 ) = 11 + 6 ( n - 1 ) = 6 n + 5$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{15} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} a _{2 n - 1} + \sum\limits _{n = 1} ^{7} a _{2 n}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} ( 6 n + 1 ) + \sum\limits _{n = 1} ^{7} ( 6 n + 5 )$ $\displaystyle = \left( 6 \times \frac{8 \times 9}{2} + 1 \times 8 \right) + \left( 6 \times \frac{7 \times 8}{2} + 5 \times 7 \right)$ $= 427$