공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주기함수 실근 개수

문제

함수 f(x)f \left( x \right)는 모든 실수 xx에 대하여 f(x+4)=f(x)f \left( x + 4 \right) = f \left( x \right)를 만족시키고, f(x)={−x−2(−2≤x<−1)x(−1≤x<1)−x+2(1≤x<2)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} - x - 2 & ( - 2 \leq x < - 1 ) \\ x ^{{} ^{{} ^{}}} & ( - 1 \leq x < 1 ) ^{{} ^{{} ^{}}} \\ - x + 2 ^{{} ^{{} ^{}}} & ( 1 \leq x < 2 ) ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}} 이다. 방정식 f(x)=1nx\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{n} x의 서로 다른 실근의 개수가 1111이 되도록 하는 모든 자연수 nn의 값의 합을 구하시오. [4점]

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33

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해설

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 방정식 문제 해결하기 주어진 조건에 맞는 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프는 다음과 같다.

y=f(x)y = f \left( x \right)

방정식 f(x)=1nx\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{n} x의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 직선 y=1nx\displaystyle y = \frac{1}{n} x가 만나는 점의 개수이다. (ⅰ) n=1n = 1일 때, 무수히 많은 점에서 만난다. (ⅱ) 2≤n≤42 \leq n \leq 4일 때, 만나는 점의 개수는 33 (ⅲ) n=5n = 5일 때, 만나는 점의 개수는 55 (ⅳ) 6≤n≤86 \leq n \leq 8일 때, 만나는 점의 개수는 77 (ⅴ) n=9n = 9일 때, 만나는 점의 개수는 99 (ⅵ) 10≤n≤1210 \leq n \leq 12일 때, 만나는 점의 개수는 1111 따라서 만나는 점의 개수가 1111이 되도록 하는 자연수 nn은 10,11,1210 , 11 , 12이다. 모든 자연수 nn의 값의 합은 10+11+12=3310 + 11 + 12 = 33이다.

태그

#주기함수#그래프#실근의 개수

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