주기함수 정적분 최소

모든 실수 $x$에 대하여 $\left\{ f ( x ) + x ^{2} - 1 \right\} ^{2} {\geq} 0$, $f ( x ) {\geq} 0$이므로 정적분 $\displaystyle \int _{- 1} ^{2} {\left\{ f ( x ) + x ^{2} - 1 \right\} ^{2} \mathit{dx}}$의 값이 최소가 되기 위해서는 (ⅰ) $- 1 {\leq} x {\leq} 1$에서 $x ^{2} - 1 {\leq} 0$이므로 $f ( x ) = - ( x ^{2} - 1 ) = - x ^{2} + 1$ (ⅱ) $1 < x {\leq} 2$에서 $x ^{2} - 1 > 0$이므로 $f ( x ) = 0$ $f ( x + 3 ) = f ( x )$이고, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $f ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle \int _{-1} ^{2} {f ( x )} dx = \int _{2} ^{5} {f ( x )} dx = \int _{5} ^{8} {f ( x )} dx$$\displaystyle = \cdots = \int _{23} ^{26} {f ( x )} dx$ 따라서 $\displaystyle \int _{- 1} ^{26} {f ( x )} dx = 9 \int _{-1} ^{2} {f ( x )} dx$$\displaystyle = 9 \int _{-1} ^{1} {( - x ^{2} + 1 )} dx = 12$