미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

주기함수 정적분

문제

[13 ~ 14] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f \left( x \right)$ 가 다음 두 조건을 만족시킨다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

(가) $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{3} _{{} _{{} _{}}} & \left( 0 \leq x < 1 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ - x ^{2} + 2 x _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} & \left( 1 \leq x < 2 \right) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}}$ (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f \left( x + 2 \right) = f \left( x \right)$ 이다.

$\displaystyle \int _{0} ^{1} {f \left( x \right) dx} + \int _{2} ^{3} {f \left( x \right) dx}$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{4}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{3}{4}$ ④ $1$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{4}$

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②

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해설

[출제의도] 정적분 이해하기 $f \left( x + 2 \right) = f \left( x \right)$ 이므로 $\displaystyle \int _{2} ^{3} {f \left( x \right) dx} = \int _{0} ^{1} {f \left( x \right) dx}$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f \left( x \right) dx + \int _{2} ^{3} {f \left( x \right) dx}} = 2 \int _{0} ^{1} {f \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {x ^{3} dx}$ $\displaystyle = 2 \left[ \frac{1}{4} x ^{4} \right] _{0} ^{1} = \frac{1}{2}$

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