미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주기함수 정적분

문제

모든 실수 xx에 대하여 연속인 함수 f(x)f \left( x \right)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 xx에 대하여 f(x+2)=f(x)f \left( x + 2 \right) = f \left( x \right)이다. (나) 0≤x≤10 \leq x \leq 1일 때, f(x)=sin⁡πx+1f \left( x \right) = \sin \pi x + 1이다. (다) 1<x<21 < x < 2일 때, f′(x)≥0f' \left( x \right) \geq 0이다.

∫06f(x)dx=p+qπ\displaystyle \int _{0} ^{6} {f \left( x \right) dx} = p + \frac{q}{\pi} 일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 정수이다.) [4점]

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12

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해설

[출제의도] 여러 가지 적분법 추론하기 (가)와 (나)에서 f(2)=f(0)=1f \left( 2 \right) = f \left( 0 \right) = 1, f(1)=1f \left( 1 \right) = 1 1≤x≤21 \leq x \leq 2에서 함수 f(x)f \left( x \right)는 연속이고 1<x<21 < x < 2에서 f′(x)≥0f' \left( x \right) \geq 0이므로 f(x)=1f \left( x \right) = 1 따라서 함수 f(x)f \left( x \right)의 그래프는 그림과 같다.

∫06f(x)dx=3∫02f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{6} {f \left( x \right) dx = 3 \int _{0} ^{2} {f \left( x \right) dx}} =3∫01(sin⁡πx+1)dx+3∫12dx\displaystyle = 3 \int _{0} ^{1} {\left( \sin \pi x + 1 \right) dx + 3 \int _{1} ^{2} {dx}} =3×[−1πcos⁡πx+x]01+3\displaystyle = 3 \times \left[ - \frac{1}{\pi} \cos \pi x + x \right] _{0} ^{1} + 3 =6+6π\displaystyle = 6 + \frac{6}{\pi} 따라서 p=6p = 6, q=6q = 6이고 p+q=12p + q = 12

태그

#주기함수#삼각함수의 적분

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