주기함수 적분 보기

ㄱ. (참) 최소의 주기가 $2$이므로 $\displaystyle \int _{-2} ^{-1} f ( x ) dx = \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ $\cdots \cdots$ $\text{㉠}$ $\displaystyle \int _{-1} ^{0} f ( x ) dx = \int _{1} ^{2} f ( x ) dx$ $\cdots \cdots$ $\text{㉡}$ $f ( x )$가 우함수이므로 $\displaystyle \int _{-1} ^{0} f ( x ) dx = \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ 따라서 $\text{㉠}$과 $\text{㉡}$은 같다. $\therefore$$\displaystyle \begin{aligned} \int _{-2} ^{2} f ( x ) dx & = 4 \int _{0} ^{1} f ( x ) dx \end{aligned}$ ㄴ. (참) $\displaystyle \begin{aligned} f' ( x ) & = \frac{4 x ( x ^{2} - 1 ) ( x ^{4} + 1 ) - ( x ^{2} - 1 ) ^{2} \cdot 4 x ^{3}}{( x ^{4} + 1 ) ^{2}} \\ & = \frac{4 x ( x ^{4} - 1 )}{( x ^{4} + 1 ) ^{2}} \end{aligned}$ 최소의 주기가 $2$이므로 $1 < x < 2$에서 $f' ( x )$는 $- 1 < x < 0$에서 $f' ( x )$와 같고 이때 $f' ( x ) > 0$ ㄷ. (참) $0 < x < 1$에서 $f' ( x ) < 0$이므로 $\displaystyle \begin{aligned} \int _{1} ^{3} {} x \left| f' ( x ) \right| dx \\ = \int _{1} ^{2} {} x f' ( x ) dx - \int _{2} ^{3} {} x f' ( x ) dx \\ = \left[ x _{} ^{} f ( x ) \right] _{1} ^{2} - \int _{1} ^{2} {} f ( x ) dx - \left[ x _{} ^{} f ( x ) \right] _{2} ^{3} + \int _{2} ^{3} {} f ( x ) dx \\ = 2 f ( 2 ) - f ( 1 ) - \int _{- 1} ^{0} {} f ( x ) dx \\ - 3 f ( 3 ) + 2 f ( 2 ) + \int _{0} ^{1} f ( x ) dx \\ = 4 f ( 2 ) - 4 f ( 1 ) = 4 f ( 0 ) - 4 f ( - 1 ) = 4 f ( 0 ) = 4 \end{aligned}$ 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.