주기함수 적분

[출제의도] 삼각함수의 극한 및 함수의 극값을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 함수를 구한 후 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? 조건 (가)에서 $x \rightarrow 0$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\sin \left( \pi \times f \left( x \right) \right) = \sin \left( \pi \times f \left( 0 \right) \right) = 0}$에서 $f \left( 0 \right) = n$($n$은 정수)이다. 한편, 삼차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $9$이므로 $f \left( x \right) = 9 x ^{3} + ax ^{2} + bx + n$ ($a$, $b$는 상수) 로 놓을 수 있다. 이 때, $h \left( x \right) = \sin \left( \pi \times f \left( x \right) \right)$라 하면 $h \left( 0 \right) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{\sin \left( \pi \times f \left( x \right) \right)}{x}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{h \left( x \right) - h \left( 0 \right)}{x}}$$= h' \left( 0 \right)$이다. 즉, $h' \left( 0 \right) = 0$이다. 이 때, $h' \left( x \right) = \pi f' \left( x \right) \times \cos \left( \pi \times f \left( x \right) \right)$이므로 $h' \left( 0 \right) = \pi \times f' \left( 0 \right) \times \cos \left( n \pi \right) = 0$에서 $f' \left( 0 \right) = 0$ $f' \left( x \right) = 27 x ^{2} + 2 ax + b$에서 $f' \left( 0 \right) = b = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, 함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {g \left( x \right)}$이어야 한다. 이때, 함수 $g \left( x \right)$는 $0 \leq x < 1$일 때 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x + 1 \right) = g \left( x \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g \left( x \right)}}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right) = 9 + a + n}}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {f \left( x \right) = n}$이므로 $9 + a + n = n$ $a = - 9$ $\cdots \cdots$ ㉡ $f' \left( x \right) = 27 x ^{2} - 18 x = 9 x \left( 3 x - 2 \right)$이므로 $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$에서 극대이고 $\displaystyle x = \frac{2}{3}$에서 극소이다. 조건 (나)에 의해 $\displaystyle f \left( 0 \right) \times f \left( \frac{2}{3} \right) = 5$이므로 $\displaystyle n \times \left( n - \frac{4}{3} \right) = 5$ $\left( 3 n + 5 \right) \left( n - 3 \right) = 0$ $n$이 정수이므로 $n = 3$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉠~㉢에 의해 $f \left( x \right) = 9 x ^{3} - 9 x ^{2} + 3$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{5} {xg \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {xg \left( x \right) dx + \int _{1} ^{2} {xg \left( x \right)} dx + \int _{2} ^{3} {xg \left( x \right)} dx} + \int _{3} ^{4} {xg \left( x \right)} dx + \int _{4} ^{5} {xg \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {x} f \left( x \right) dx + \int _{0} ^{1} {\left( x + 1 \right) g \left( x + 1 \right)} dx + \int _{0} ^{1} {\left( x + 2 \right) g \left( x + 2 \right)} dx$ $\displaystyle + \int _{0} ^{1} {\left( x + 3 \right) g \left( x + 3 \right)} dx + \int _{0} ^{1} {\left( x + 4 \right) g \left( x + 4 \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {xf \left( x \right)} dx + \int _{0} ^{1} {\left( x + 1 \right) f \left( x + 1 \right)} dx + \int _{0} ^{1} {\left( x + 2 \right) f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle + \int _{0} ^{1} {\left( x + 3 \right) f \left( x \right)} dx + \int _{0} ^{1} {\left( x + 4 \right) f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = 5 \int _{0} ^{1} {xf \left( x \right)} dx + 10 \int _{0} ^{1} {f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = 5 \int _{0} ^{1} {\left( 9 x ^{4} - 9 x ^{3} + 3 x \right)} dx + 10 \int _{0} ^{1} {\left( 9 x ^{3} - 9 x ^{2} + 3 \right)} dx$ $\displaystyle = 5 \left[ \frac{9}{5} x ^{5} - \frac{9}{4} x ^{4} + \frac{3}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{1} + 10 \left[ \frac{9}{4} x ^{4} - 3 x ^{3} + 3 x \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{21}{4} + \frac{45}{2}$$\displaystyle = \frac{111}{4}$ 따라서 $p = 4$, $q = 111$이므로 $p + q = 4 + 111 = 115$이다.