주기함수 극값 조건

[출제의도] 극댓값과 극솟값의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 미지수의 값을 구한다. $a = \mathit{-} 1$일 때 구간 $\left[ 0 , 2 \right)$에서 $f ( x ) = x + 1$이므로 $x = 0$에서 극댓값을 갖지 않는다. 이것은 모순이므로 $a \ne \mathit{-} 1$ 구간 $[ 0 , 2 )$에서 $f ( x )$가 극솟값을 갖도록 하는 $a$의 값의 범위를 구하면 $\displaystyle f ( x ) = \frac{( x - a ) ^{2}}{x + 1}$에서 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{( x - a ) ( x + 2 + a )}{( x + 1 ) ^{2}}$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = a$ 또는 $x = \mathit{-} a - 2$ (ⅰ) $a < \mathit{-} a - 2$일 때 $a < \mathit{-} a - 2$에서 $a < \mathit{-} 1$이고, $x = \mathit{-} a - 2$의 좌우에서 $f' ( x )$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $x = \mathit{-} a - 2$에서 $f ( x )$는 극솟값을 갖는다. 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극댓값을 가지므로 구간 $( 0 , 2 )$에서 극솟값을 갖는다. 즉 $0 < \mathit{-} a - 2 < 2$, $- 4 < a < \mathit{-} 2$ $a$는 정수이므로 $a = \mathit{-} 3$ (ⅱ) $a > \mathit{-} a - 2$일 때 $a > \mathit{-} a - 2$에서 $a > \mathit{-} 1$이고, $x = a$의 좌우에서 $f' ( x )$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $x = a$에서 $f ( x )$는 극솟값을 갖는다. 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극댓값을 가지므로 구간 $( 0 , 2 )$에서 극솟값을 갖는다. 즉 $0 < a < 2$ $a$는 정수이므로 $a = 1$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 조건을 만족하는 정수 $a$의 값은 $- 3$ 또는 $1$ 따라서 모든 정수 $a$의 값의 곱은 $( - 3 ) \times 1 = \mathit{-} 3$ [보충 설명] (ⅰ) $a = \mathit{-} 3$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 $x = 0$에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) $a = 1$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 $x = 0$에서 극댓값을 갖는다.