미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주기 우함수 정적분

문제

연속함수 $f ( x )$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.


	(가) $f ( - x ) = f ( x )$
	(나) $f ( x + 2 ) = f ( x )$
	(다) $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {( x + 2 ) ^{2} f \left( x \right) dx = 50}$ , $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {x ^{2} f \left( x \right) dx = 2}$

$\displaystyle \int _{- 3} ^{3} {x ^{2} f \left( x \right) dx}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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102

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해설

[출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기 $\displaystyle \int _{- 3} ^{3} {x ^{2} f \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{- 3} ^{- 1} {x ^{2} f \left( x \right) dx} + \int _{- 1} ^{1} {x ^{2} f \left( x \right) dx} + \int _{1} ^{3} {x ^{2} f \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = 2 \int _{1} ^{3} {x ^{2} f \left( x \right) dx} + 2$ $\displaystyle = 2 \int _{- 1} ^{1} {( x + 2 ) ^{2} f \left( x + 2 \right) dx} + 2$ $\displaystyle = 2 \int _{- 1} ^{1} {( x + 2 ) ^{2} f \left( x \right) dx} + 2$ $= 102$

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