대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주기 수열의 합

문제

첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} 2 a _{n} & ( a _{n} \leq 1 ) \\ a _{n} - 1 & ( a _{n} > 1 ) \end{cases}}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{18} a _{n}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 수열의 성질을 이용하여 문제해결하기 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{3}$ , $\displaystyle a _{2} = \frac{2}{3}$ , $\displaystyle a _{3} = \frac{4}{3}$ , $\displaystyle a _{4} = \frac{1}{3}$ , $\displaystyle a _{5} = \frac{2}{3}$ , $\displaystyle a _{6} = \frac{4}{3}$ , $\cdots$ 이므로 $a _{n} = a _{n + 3} ( n \geq 1 )$ 이 성립한다. $\displaystyle a _{1} + a _{2} + a _{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$ $18 = 3 \times 6$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{18} a _{n} = 6 \times \frac{7}{3} = 14$

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