미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주기 조건 함수 적분

문제

함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 0≤x<10 \leq x < 1일 때, f(x)=ex−1f ( x ) = e ^{x} - 1이다. ㈏ 모든 실수 xx에 대하여 f(x+1)=−f(x)+e−1f ( x + 1 ) = - f ( x ) + e - 1이다.

∫03f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{3} f ( x ) dx의 값은? [4점] ①2e−32 e - 3②2e−12 e - 1③2e+12 e + 1④2e+32 e + 3⑤2e+52 e + 5

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①

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해설

조건 (가), (나)에 의하여 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 다음 그림과 같다.

위 그림에서 ∫13f(x)dx\displaystyle \int _{1} ^{3} f ( x ) dx는 가로와 세로의 길이가 각각 11, e−1e - 1인 직사각형의 넓이와 같다. ∴ ∫03f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{3} f ( x ) dx =∫01(ex−1)dx+(e−1)×1\displaystyle = \int _{0} ^{1} ( e ^{x} - 1 ) dx + ( e - 1 ) \times 1 =[ex−x]01+e−1= \left[ e ^{x} - x \right] _{0} ^{1} + e - 1 =2e−3= 2 e - 3

태그

#정적분#함수의 대칭

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