공통수학2함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주어진 함수가 반례가 되는 명제

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=x2−1f ( x ) = x ^{2} - 1이 있다. 다음 명제 중 함수 ff가 반례가 되는 것은? [3점] ①모든 실수 xx에 대하여 f(−x)=f(x)f ( - x ) = f ( x )이면 ff는 상수함수이다.②f(0)=−1f ( 0 ) = - 1이면 f(1)=0f ( 1 ) = 0이다.③ff가 일대일함수이면 f(1)≠f(−1)f ( 1 ) \ne f ( - 1 )이다.④f(1)=f(−1)f ( 1 ) = f ( - 1 )이면 f(2)=f(−2)f ( 2 ) = f ( - 2 )이다.⑤f(1)=0f ( 1 ) = 0이면 f(x)=0f ( x ) = 0인 실수 xx가 존재한다.

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①

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해설

함수 ff가 명제의 반례가 되려면 ff가 가정은 만족시키고 결론은 만족시키지 않아야 한다. ① f(−x)=(−x)2−1=x2−1=f(x)f ( - x ) = ( - x ) ^{2} - 1 = x ^{2} - 1 = f ( x )이므로 가정을 만족시키지만 f(0)=−1f ( 0 ) = - 1, f(1)=0f ( 1 ) = 0이므로 ff는 상수함수가 아니다. 즉 결론을 만족시키지 않는다. ② f(0)=−1f ( 0 ) = - 1이고 f(1)=0f ( 1 ) = 0이므로 결론을 만족시킨다. ③ f(1)=f(−1)=0f ( 1 ) = f ( - 1 ) = 0이므로 ff는 일대일함수가 아니다. 즉 가정을 만족시키지 않는다. ④ f(1)=f(−1)=0f ( 1 ) = f ( - 1 ) = 0이고 f(2)=f(−2)=3f ( 2 ) = f ( - 2 ) = 3이므로 결론을 만족시킨다. ⑤ f(1)=0f ( 1 ) = 0이므로 f(x)=0f ( x ) = 0인 실수 x=1x = 1이 존재한다. 즉 결론을 만족시킨다. 따라서 ff가 반례가 되는 명제는 ①이다. 답 ①

태그

#함수#반례#가정과 결론#상수함수

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