공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

조립제법 항등식 계수

문제

수 a,b,c,da , b , c , d에 대하여 [a,b,c,d](x)[ a , b , c , d ] _{(x)}를 [a,b,c,d](x)=ax3+bx2+cx+d[ a , b , c , d ] _{(x)} = a x ^{3} + b x ^{2} + c x + d 로 정의하자. 예를 들면 [2,1,3,6](x)=2x3+x2+3x+6[ 2 , 1 , 3 , 6 ] _{(x)} = 2 x ^{3} + x ^{2} + 3 x + 6이다. 이 때, 등식 [1,1,0,1](x)=[p,q,r,s](x−1)[ 1 , 1 , 0 , 1 ] _{(x)} = [ p , q , r , s ] _{( x - 1 )}이 모든 실수 xx에 대하여 항상 성립하도록 하는 상수 pp, qq, rr, ss의 합 p+q+r+sp + q + r + s의 값은? [3점] ①−1- 1②33③99④1111⑤1313

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⑤

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해설

주어진 정의에 의하여 x3+x2+1=p(x−1)3+q(x−1)2+r(x−1)+s⋯x ^{3} + x ^{2} + 1 = p ( x - 1 ) ^{3} + q ( x - 1 ) ^{2} + r ( x - 1 ) + s \cdots(1) 식 (1)이 xx에 관한 항등식이어야 하므로 좌변의 식을 x−1x - 1에 대한 내림차순으로 정리하면 미지수를 결정할 수 있다. 아래와 같은 방법으로 조립제법을 이용하면

1111110011
112222
1111222233
1133
11113355
11
1144

p=1,q=4,r=5,s=3p = 1 , q = 4 , r = 5 , s = 3 따라서, p+q+r+s=1+4+5+3=13p + q + r + s = 1 + 4 + 5 + 3 = 13

태그

#항등식#조립제법

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