미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

종신연금 연금액

문제

$\mathrm{K}$ 보험사에는 다음과 같은 종신연금 상품이 있다.

◦ 최초 가입시 단 한번 납입한 $1$ 억 원을 연이율 $5$ %, $1$ 년 단위의 복리로 계산하여 $10$ 년 후의 원리합계를 연금 준비금으로 한다. ◦ 가입하여 $10$ 년이 지난 후부터 매년 $\mathrm{A}$ 원씩 연금을 영구히 받는다. ◦ $n$ 번째의 연금 $\mathrm{A}$ 원을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{( 1 + 0.05 ) ^{n - 1}}$ 원이다. ◦ 매년 받을 수 있는 연금을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하여 모두 더한 금액이 연금 준비금과 같아지도록 한다.

$2005$ 년 초에 이와 같은 종신연금에 가입했을 때, $2015$ 년 초부터 매년 받을 수 있는 연금액은? (단, $1.05 ^{9} = 1.55$ 로 계산한다.) [4점] ① $675$ 만원② $725$ 만원③ $775$ 만원④ $825$ 만원⑤ $875$ 만원

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③

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해설

$2015$ 년 초 원리합계는 $10 ^{8} \times ( 1 + 0.05 ) ^{10}$ (원) 매년 $\mathrm{A}$ 원 씩 연금을 받는다고 할 때, $2015$ 년을 기준으로 했을 때의 가치는 각각 $\mathrm{A}$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{1 + 0.05}$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\left( 1 + 0.05 \right) ^{2}}$ , … 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{1 - \frac{1}{1.05}} = 10 ^{8} \times 1.05 ^{10}$ 에서 $\displaystyle \mathrm{A} = 10 ^{8} \times 1.05 ^{10} \times \frac{0.05}{1.05}$ $= 10 ^{8} \times 1.05 ^{9} \times 0.05$ $= 7 , 750 , 000$

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