종이 접기와 사인법칙

[출제의도] 사인법칙을 이용하여 선분의 길이 구하는 문제 해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} = \mathit{x}$, $\mathrm{\angle} CDF = \theta$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\angle} BDE = \frac{\pi}{2} - \theta$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \mathrm{\overline{DE}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 1 - \mathrm{\overline{AE}} = 1 - \mathrm{\overline{DE}}$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \mathrm{\overline{DF}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = 1 - \mathrm{\overline{AF}} = 1 - \mathrm{\overline{DF}}$이다. 삼각형 $\mathrm{BDE}$와 삼각형 $\mathrm{DCF}$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $r _{1}$, $r _{2}$라 하면 사인법칙에 의해 삼각형 $\mathrm{BDE}$에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{1} - {\overline{DE}}}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \frac{\mathrm{\overline{DE}}}{\sin \frac{\pi}{4}} = 2 \mathit{r} _{1}$ $\cdots$① 삼각형 $\mathrm{CDF}$에서 $\displaystyle \frac{1 - \mathrm{\overline{DF}}}{\sin \theta} = \frac{\mathrm{\overline{DF}}}{\sin \frac{\pi}{4}} = 2 \mathit{r} _{2}$ $\cdots$ ② $r _{1} = 2 r _{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = 2 \mathit{\overline{\mathrm{DF}}} = 2 \mathit{x}$이고 ①에서 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - 2 x \right) = 2 x \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = 2 x \cos \theta$ ②에서 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - x \right) = x \sin \theta$이므로 두 식의 양변을 제곱하여 연립하면 $\left( 1 - 2 x \right) ^{2} + 4 \left( 1 - x \right) ^{2} = 8 x ^{2} \left( \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta \right) = 8 x ^{2}$ $\therefore$$\displaystyle x = \frac{5}{12}$ 따라서 $p = 12$, $q = 5$이므로 $p + q = 17$이다.