종이 접기 직선

[출제의도] 두 직선의 평행과 수직을 이용하여 종이접기에 대한 문제를 해결한다.

좌표평면 위의 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{F}$의 좌표는 각각 $( 0 , 0 )$, $( 12 , 0 )$, $( 12 , 12 )$, $( 0 , 12 )$, $( 5 , 0 )$이다. 점 $\mathrm{O}'$은 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점이므로 점 $\mathrm{O}'$의 좌표를 $( a , 12 )$로 놓을 수 있다. 또 점 $\mathrm{F}'$은 선분 $\mathrm{DE}$ 위의 점이고, 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$는 각각 두 선분 $\mathrm{OC}$, $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 점 $\mathrm{F}'$의 좌표를 $( b , 8 )$로 놓을 수 있다. 직선 $\mathrm{OO}'$과 직선 $\mathrm{FF}'$은 모두 직선 $\mathrm{PQ}$와 수직이므로 직선 $\mathrm{OO}'$과 직선 $\mathrm{FF}'$은 서로 평행하다. 따라서 두 직선의 기울기가 같으므로 $\displaystyle \frac{12 - 0}{a - 0} = \frac{8 - 0}{b - 5}$ $2 a = 3 b - 15$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{O}' F'}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{OF}} = 5$이므로 $\displaystyle \sqrt{( b - a ) ^{2} + ( 8 - 12 ) ^{2}} = 5$ $( b - a ) ^{2} = 9$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡ 을 연립하여 $0 \leq a \leq 12$, $0 \leq b \leq 12$의 범위에서 해를 구하면 $a = 6$, $b = 9$ 직선 $\mathrm{PQ}$는 선분 $\mathrm{OO}'$의 중점 $( 3 , 6 )$과 선분 $\mathrm{FF}'$의 중점 $( 7 , 4 )$를 지나는 직선이므로 직선 $\mathrm{PQ}$의 방정식은 $y$$\displaystyle = \frac{6 - 4}{3 - 7} ( x - 3 ) + 6$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} x + \frac{15}{2}$ 따라서 $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{1}{2}$, $\displaystyle n = \frac{15}{2}$이므로 $m + n = 7$ [다른풀이] 좌표평면 위의 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{F}$의 좌표는 각각 $( 0 , 0 )$, $( 12 , 0 )$, $( 12 , 12 )$, $( 0 , 12 )$, $( 5 , 0 )$이다. 점 $\mathrm{O}'$은 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점이므로 점 $\mathrm{O}'$의 좌표를 $( a , 12 )$로 놓을 수 있다.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{O}' F'}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{OF}} = 5$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{HF}'} = 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O}' H}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{O}' F'}} ^{2} - {\overline{\mathrm{HF}'}} ^{2}}$$= 3$ 따라서 점 $\mathrm{F}'$의 좌표를 $( a + 3 , 8 )$로 놓을 수 있다. 선분 $\mathrm{OO}'$의 중점을 $\mathrm{M}$, 선분 $\mathrm{FF}'$의 중점을 $\mathrm{N}$이라 하면 $\displaystyle {\mathrm{M}} \left( \frac{a}{2} , 6 \right)$, $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( \frac{a + 8}{2} , 4 \right)$ 이고, 두 점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$은 직선 $\mathrm{PQ}$ 위의 점이므로 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 6}{\frac{a + 8}{2} - \frac{a}{2}} = \frac{- 2}{4}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 직선 $\mathrm{OO}'$과 직선 $\mathrm{PQ}$는 수직이므로 직선 $\mathrm{OO}'$의 기울기는 $2$이다. $\displaystyle \frac{12 - 0}{a - 0} = \frac{12}{a}$$= 2$ $a = 6$이므로 ${\mathrm{M}} ( 3 , 6 )$ 따라서 직선 $\mathrm{PQ}$의 방정식은 $y$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} ( x - 3 ) + 6$$\displaystyle = \mathit{\mathit{-}} \frac{1}{2} x + \frac{15}{2}$ 따라서 $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{1}{2}$, $\displaystyle n = \frac{15}{2}$이므로 $m + n = 7$